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Aumann II: Teoremas de Equivalencia

Publicado en Expansión

Hace unos días publiqué en Expansión Aumann I: Cooperación y epistemología, un artículo sobre un aspecto de las aportaciones de Aumann a los juegos estratégicos que me parecía a la vez inquietante y fascinante y que, sin embargo, no había sido mencionado como tal en las notas oficiales que acompañaban a la concesión del premio Nobel, aunque se daba cumplida cuenta de él en el artículo de Mas-Colell en El Pais (“Los juegos de Aumann y Schelling“, 17 de octubre).

Se trataba de la integración de la irracionalidad, entendida como desconocimiento de la racionalidad ajena, en la Teoría de los Juegos. A pesar de la importancia de este tema para los juegos estratégicos hay que dejar constancia de que Aumann es también un eximio investigador en el ámbito de los juegos coalicionales en los que el compromiso firme entre jugadores de cualquier subconjunto del conjunto de todos ellos es “técnicamente” posible y cabe, por lo tanto, considerar grupos de individuos o, tal como se suelen denominar, coaliciones. Sobre esto prometí escribir y a ello está dedicado el presente artículo.

En este contexto de juegos coalicionales surge la idea del núcleo de una economía, una noción fácil de entender en una economía simple en la que solo hay un conjunto de agentes individuales, cada uno de ellos dotado con una cantidad determinada de cada uno de los bienes existentes. En esta economía de intercambio puro, el núcleo es un concepto de solución muy general. Un asignación del total de los bienes existentes entre los jugadores estará “bloqueada” si hay una coalición de individuos que, con sus propias dotaciones iniciales de bienes (que pueden repartírselas sin problemas debido a su capacidad de comprometerse firmemente), puede mejorar a todos sus componentes en relación a la asignación que estamos considerando. Pues bien, el núcleo de esa economía está formado por todas las asignaciones que no están “bloqueadas” por ninguna coalición, incluyendo la formada por todos ellos.

Es evidente que una asignación en el núcleo es óptima en sentido paretiano porque si no lo fuera la coalición de todos se repartiría los bienes pudiendo mejora a todos, mientras que la noción, también cooperativa, de óptimo paretiano exige, como es bien conocido, que la única manera de mejorar a un agente sea empeorando a otro u otros.

Si confrontamos estos dos tipos de juegos nos percatamos inmediatamente de que representan idealizaciones de situaciones reales muy distintas y que ofrecen conceptos de solución del correspondiente juego que, en principio, son también muy diferentes. El conflicto subyace a ambas ramas; pero, así como en la solución de los juegos estratégicos correspondiente al equilibrio de Nash (en el que cada jugador adopta la mejor estrategia para él, dada la del otro) la cooperación y la optimalidad paretiana surgen solo por casualidad, podríamos decir que en los juegos coalicionales se parte de la posibilidad de cooperación para sugerir que la solución ha de estar en el núcleo.

Ambas ramas de la Teoría de los Juegos, la estratégica y la coalicional tienen aplicaciones; pero las más espectaculares corresponden a la rama estratégica, desde la guerra nuclear hasta el enfrentamiento entre sindicatos y patronales, pasando por las relaciones conyugales. Las aplicaciones de la rama coalicional son, en general aunque no exclusivamente, más internas al propio corpus de la ciencia económica. Para mi gusto hay pocos resultados tan bellos -y tranquilizadores- como uno de los que han dado en llamarse Teoremas de Equivalencia, el que hace referencia al núcleo.

Se trata de un resultado que, aunque tenía precedentes y corresponde a una vieja conjetura de Edgeworth de hace más de un siglo, fue probado con total elegancia y sobriedad por Aumann en dos maravillosos artículos publicados en Econometrica en 1964 y 1966 para un continuo (en sentido matemático) de agentes: el núcleo de una economía coincide con el conjunto de asignaciones correspondientes al equilibrio competitivo de una economía de mercado. El sistema de mercado recibe así una especie de espaldarazo básico como forma de funcionamiento de una sociedad: funcionando de acuerdo con él no se nos escapará ningún resultado que pueda resultar atractivo en la sociedad en la que funcionan esos mercados.

Ahora bien, ni el núcleo es el único concepto de solución de un juego coalicional, ni el Teorema de Equivalencia mencionado es el único disponible. Mencionaré solo el resultado adicional que demuestra la equivalencia entre el conjunto de asignaciones de equilibrio competitivo de una economía de intercambio con un continuo de agentes y el llamado Valor de Shappley. Esta última noción de solución aísla aquellas asignaciones entre los agentes económicos individuales con las que se estaría remunerando a cada agente individual con su contribución al bienestar de toda la sociedad o, más exactamente, con la media de sus contribuciones a cada coalición.

Estos dos Teoremas de equivalencia tienen dos implicaciones iluminadoras:

  • La primera que me interesa destacar es que el equilibrio competitivo de una economía de mercado es una noción muy general. Tanto que no caben esas distinciones tan queridas por algunos autores que quieren buscarle tres pies al gato, entre el cuerpo a cuerpo propio de las relaciones sociales en la mayoría de sus manifestaciones y el contacto distanciado propio de las relaciones entre individuos mediadas por los precios que surgen en los mercados.
  • La segunda implicación, derivada de la equivalencia entre las asignaciones de equilibrio competitivo y el Valor de Shappley, es obvia. En dicho equilibrio se está dando a cada agente individual lo que él contribuye socialmente, no más. Esto es exactamente lo que ocurre en ausencia de “rentas” marshallianas derivadas de situaciones de privilegio venga éste de donde venga, que cada cual recibe su coste de oportunidad: lo mínimo que se puede pagar a alguien es lo máximo que obtendría en competencia perfecta.

Con estas dos implicaciones in mente termino este artículo y procedo a cerrar mi homenaje a Robert J. Aumann, Nobel de Economía y una figura humana con resonancias bíblicas. La primera vez que le vi al natural fue en la conmemoración del vigésimo aniversario del CORE en Louvain -la Nueve- hace ya casi veinte años. Descendía desde la última fila del anfiteatro hacia el escenario para dictar la conferencia central como si fuera Moisés descendiendo del Sinaí. Las tablas de la ley llegaron, sin embargo, más tarde en forma de los volúmenes de sus Collected Papers que aparecieron en el Palacio Euskalduna de Bilbao en el año 2000 con ocasión de la primera reunión mundial de la Sociedad de Juegos que no dudó en nombrarle su presidente. Era una forma de desagraviarle por haberle excluido del galardón seis años antes a pesar de sus aportaciones a la rama estratégica.

Hoy pienso que Aumann merecería, junto con Shappley y quizá algún otro, un segundo premio Nobel por sus aportaciones a la rama coalicional que no se limitan a las que aquí he reseñado. Pero me temo que ya sea tarde para este reconocimiento porque esta rama se da ya, de manera prematura a mi juicio, como agotada. Y ello gracias al trabajo de nuestro compatriota Mas- Colell quien con enormes dosis de inteligencia y de energía, realmente “acabó” con el tema sin que haya recibido, entre nosotros, el suficiente reconocimiento público.

«Aumann II: Teoremas de Equivalencia» recibió 2 desde que se publicó el Martes 8 de Noviembre de 2005 dentro de la serie «» . Si te ha gustado este post quizá te gusten otros posts escritos por Juan Urrutia.

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  1. […] y , dentro de ésta, la teoría de los juegos cooperativos una línea de investigación adormilada (tal como decía hace ya 7 años) y que, sin embargo, debería ser espabilada por las cicunstancias cambiantes. Una vez sacada toda […]

  2. […] al consumo. Mi aspiracion desde hace muchos años y nunca alcanzada es la de poder decir algo sobre el teorema de equivalencia desde la envidia o lo contrario que, propiciada por la desigualdad, puede influir en las […]

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